۲

مقدمه ای براصل برنولی

اصل برنولی می‌گوید در جریان لایه‌ای نامتلاطم ، فشار با کاهش سرعت افزایش می‌یابد، برعکس ناحیه‌هایی که در آن سرعت بیشتر است فشار کمتری دارند. چنین وضعیتی را برای جریان متلاطم که در آن حرکت شاره در هم و بر هم یا نامنظم و نامرکب است نمی‌توان تعمیم داد. اصل برنولی برای جریان لایه‌ای یعنی هنگامی که هر لایه شاره در کنار لایه‌های مجاور به آرامی در حرکت باشد قابل استفاده است.

تئوری اصل برنولی

اصل برنولی در شکل 1 نشان داده شده است. جریان لایه‌ای هوا در محل 1 ، که در سطح لوله در آنجا برابر است وارد لوله می‌شود. مساحت سطح مقطع لوله در آن محل 2 به مقدار در ناحیه‌ای از سرعت در ناحیه 1 بیشتر است و فشار در محل 2 از فشار در محل 1 کمتر است. یعنی چون است.

داریم __ این ارتباط میان و را می‌توان با فشار سنجی که در دو سر آن به محلهای 2 و 1 متصل شده است تأیید کرد. اختلاف فشارهایی که در اصل برنولی با آنها سر و کار داریم، تنها از تغییرات سرعت ناشی می‌شوند. این بدان معنی است که ارتفاعهای دو نقطه مورد نظر از سطح زمین آنقدر به هم نزدیک است که اختلاف فشارهای ایستایی ناشی از گرانی در این دو نقطه قابل چشم پوشی است.

اساس فیزیکی اصل برنولی

زیر بنای فیزیکی اصل برنولی و شرایط برقراری آن را با کاربرد قضیه کار و انرژی در صدد و جریان لایه‌ای ، نا چسبنده ، بی چرخش و تراکم ناپذیر که حالت پایا داشته باشد، به آسانی می‌توان درک کرد. این محدودیتها بدان معنی است که پیچ انرژی به علت انواع گوناگون اصطکاکها تلف نمی‌شود. در شکل 2 شاره‌ای با چگالی را نشان می‌دهد که در ابتدا فاصله‌ای بین سطوح و دور لوله پر می‌کند. در محل 1 در سطح ، فشار برابر با و سطح مقطع لوله برابر با است.
در نتیجه نیروی به طرف راست بر شاره وارد می‌شود و به همین ترتیب در محل 2 در سطح نیرویی وجود دارد که اندازه آن برابر با بزرگ است. در این صورت شاره از سطح به طرف و از سطح به طرف حرکت می‌کند به این ترتیب ، در نهایت با جابجایی جرم: شاره میان سطحهای ، و یا ، است. با بکار بردن قضیه کار - انرژی در مورد داریم:

که در آن کار انجام شده روی سیستم توسط نیروهای ناپایستار و به ترتیب انرژیهای جنبشی و پتانسیل سیستم هستند. با قرار دادن کمیت معادله برنولی:

که همان پایستگی انرژی مکانیکی در واحد حجم است:

بیان ریاضی اصل برنولی

اصل برنولی را بلافاصله می‌توان از معادله برنولی بدست آورد. اگر چگالی شاره به قدر کافی کم و اختلاف ارتفاع در دو نقطه مورد نظر آنقدر کوچک باشد که قابل گذشت باشد. در آن صورت از معادله بالا خواهیم داشت: {TEX()} {p + \fvac {1}{2}ρv_2 = Const} {TEX}
که بیان ریاضی از اصل برنولی است: با افزایش سرعت به فشار کاهش یافته می‌یابد و با کاهش سرعت فشار افزایش می‌یابد. کندترین شاره بیشترین فشار را دارد. بدین سان می‌بینیم که اصل برنولی نتیجه‌ای از پایستگی انرژی مکانیکی در شاره‌های آرمانی است. در این صورت اصل برنولی برای شاره‌های واقعی که چسبندگی دارند و تراکم پذیر هستند، به تقریب برقرار است.

معادله پیوستگی

برای بدست آوردن معادله 2 و 3 افت اتلافی را بر اثر چسبندگی و تلاطم ناچیز فرض گرفته‌ایم. همچنین فرض شد که در فاصله میان محلهای 1 و 2 در شکل 2 هیچگونه چاهک یا چشمه‌ای وجود ندارد. این بدان معنی است که مقدار جرمی که میان این دو نقطه جریان پیدا می‌کند پایسته می‌نامند. مقدار جرم که با سرعت در لوله‌ای با سطح مقطع در مدت زمان جریان می یابد برابر است با {TEX()} {\delta m = ρAV\delta } {TEX}.
بنابراین هنگامی که چگالی شاره ثابت باشد، مانند مورد شاره تراکم ناپذیر ، داریم: {TEX()} {A_1V_1 =A_2V_2} {TEX } معادله قبلی ساده‌ترین شکل معادله پیوستگی برای بیان شاره‌هاست این معادله حاکی از آن است که هر چه مساحت سطح مقطع کمتر شود، سرعت افزایش می یابد. علت این امر را می‌توان چنین دریافت: هر چه گذرگاه شاره باریکتر شود شاره ها باید تندتر حرکت کنند تا مقدار جرم شاره‌ای که در هر ثانیه از این محل تنگ می‌گذرد بر حسب کیلوگرم همان باشد که از مقاطع دیگر می‌گذرد.

کاربردهای اصل برنولی

از نمونه‌های مهمی که از کارکرد اصل برنولی می‌توان نام برد، طرز کار کاربراتور در بسیاری از موتورهای بنزینی است. هوا از طریق مجرای گشاد کاربراتور (محل 1 در شکل 1) به داخل موتور جریان می‌یابد. اما وقتی مجرا تنگتر می‌شود. (محل 2 شکل 1) سرعت هوا زیاد و فشار آن کم می‌شود. بنزین در محل تنگتر مجرا وارد کاربراتور می شود. از آنجا که مخزن بنزین دارای فشار جو است، ولی مجرای تنگ کاربراتور فشار کمتری دارد. بنزین از طریق مجرای تنگ به درون کاربراتور می‌رود و در آنجا با هوا مخلوط می‌شود تا مخلوط قابل احتراقی از بنزین و هوا بوجود آید.

نمونه آشنای دیگر از کارکرد اصل برنولی

این است که پرده سقفی اتومبیلهایی که با سرعت زیاد در بزرگراهها در حرکتند، در حالتی که پرده روی سقف کشیده شده و پنجره‌ها بسته است به طرف بالا پف می‌کند و برجسته می‌شود. از دید چارچوب مرجع اتومبیل به هوای خارج با سرعت زیاد از روی پرده جریان دارد، در حالی که هوای داخل اتومبیل در حال سکون است. بنابراین ، هوای خارج نسبت به هوای داخل فشار کمتری دارد و در نتیجه پرده سقفی به طرف بیرون پف خواهد کرد.

آئرودینامیک پرواز

با استفاده از اصل برنولی که منشأ نیروی بالا بر هواپیما را نیز به آسانی می‌توان توضیح داد. شکل بال هواپیما زاویه پیشروی آن (تعیین طرز کج شدن بال نسبت به جریان هوا) طوری طراحی می‌شود که سرعت جریان هوا از روی بال بیشتر از سرعت جریان هوا در زیر بال باشد. بنابراین فشار هوا در زیر بال از فشار هوای روی بال بیشتر می‌شود. این اختلاف فشار باعث می‌شود تا نیروی بالا برنده بر هواپیما وارد شود.

پاسکال

بلز پاسکال ریاضیدان، فیلسوف و فیزیکدان فرانسوی 19 ژوئن 1623 در کلرمون واقع در مرکز فرانسه – 19 اوت 1662 در پاریس، به دنیا آمد. کسی که او را «پاک ترین موجود جهان» نامیده اند. پدرش ریاست اداره مالیات کلرمون را به عهده داشت. خواهرش ژیلبرت زندگی نامة او را نوشت و خواهر دیگرش ژاکلین او را به صومعه کشانید تا خودش را وقف کلیسا کند و در واقع موجب مرگ او و بی بهره شدن جهان دانش از وجود یک نابغه شد.

پدرش به خاطر تحصیل او، از کار خود استعفا کرد و خانواده را به پاریس آورد (1639) در بیست و پنج سالگی فعالیت های علمی خود را رها کرد و به دیر «ژان سنیست ها» رفت چرا که «ژان سن» معتقد بود «دانش یک شهود روانی است شبیه اشتهای جسمی و این همان پاسکال است که زمانی به شوهر خواهرش نوشته بود " گمان نمی کنم ناچار باشیم اندیشه ها و حکم هایی را که از گذشته به ما رسیده است، بپذیریم، مگر آنکه استدلالی منطقی و بی تردید داشته باشند و به نظر من نهایت ضعف و نادانی است که به حقیقت های روشن ومسلم گردن ننهیم و به اندیشه های کهنة خود باور داشته باشیم"

فعالیتهای علمی

پاسکال در 12 سالگی بسیاری از قضیه های هندسه اقلیدسی را پیش خود اثبات کرد. در 16 سالگی قضیه ای از هندسه تصویری را کشف کرد  )قضیه پاسکال(، در همان سال کتاب «مقاطع مخروطی» را نوشت. در سال 1640 نخستین ماشین حساب را ساخت، نظریه احتمال را بنیان گذاشت. به جز آن کشف هایی در «تعادل آب گون ها» ، «فشار هوا» و غیر آن دارد. او کارهای مهمی در هیدروستاتیک (که به همین سبب واحد فشار، پاسکال نامیده میشود) انجام داد و بحثهایش با فرما در مورد مساله دومره نظریه احتمال را بنا نهاد.

مثلث پاسکال یا نمودار ضریب دو جمله ای، از آن او نبوداما وی آن را در محاسبه های احتمالش به کار برد. پاسکال در کار مربوط به یافتن مساحتهای اشکال منحنی الخط نیز شرکت داشت،کاری که منجر به حساب دیفرانسیل و انتگرال شد.

در کلیسا وقتی در 1668 به درد دندان مبتلا شد، برای نجات از درد به ریاضیات پناه برد و در 8 روز کتابی درباره انتگرال ها و دیگر کشف های خودش نوشت (در سال 1659 رساله ای درباره محاسبات دیفرانسیلی نوشته بود).اوسرانجام در سال 1662 در گذشت.

دید کلی

یونانیان باستان ، عالم را متشکل از چهار عنصر آتش ، خاک ، آب و هوا می‌دانستند. امروزه دانشمندان بکمک این عناصر ، تمام اجزای تشکیل دهنده جهان را آن طور که هست ، توضیح می‌دهند. آتش بیانگر انرژی بوده و سه عنصر دیگر نشان دهنده سه حالت از ماده جامد ، مایع و گاز) می‌باشند. بر طبق این تقسیم بندی ، مواد جامد دارای شکل و ابعاد مشخصی بوده و همچنین جرم ، حجم و وزن مشخصی دارند.
مایعات و گازها شاره هستند، یعنی جریان می‌یابند. این اجسام شکل معینی ندارند و شکل ظرفی را که در آن قرار دارند بخود می‌گیرند، در حالیکه مقدار معینی دارند. مثلا مقدار آب ، دی اکسید کربن ، هوا ، شیر و غیره جرم قابل اندازه گیری و معینی دارند، اما نمی‌توانند همانند جامدات با اعمال نیروی پس زنی کشانی ، در مقابل تغییر شکل ، مقاومت کنند.

آزمایشات ساده

·         مقدار معینی مایع ، حجم مشخصی دارد، گاز چنین نیست. اگر یک لیتر شیر را در چهار لیوان بریزیم، در مجموع همان یک لیتر حجم را اشغال می‌کند. حجم اشغال شده توسط سطح افقی بالای شیر در لیوان مشخص می‌شود. همین سطح است که باعث تمایز مایعات از گازها می‌شود.

·         اگر گاز سنگین و قابل روئیت (رنگی) کلر را از ظرفی به ظرف دیگر بریزیم و در ظرف را باز بگذاریم ، گاز درون ظرف باقی نمی‌ماند. گازها همانند مایعات ، سطح افقی در بالای حجم اشغال کرده خود ندارند و در همه جا پخش می‌شوند. بنابراین ، حجم گاز برابرحجم هر ظرفی است که در آن قرار می‌گیرد.

جامد

در حالت جامد ، نیروهای بین مولکولی ، بقدری قویتر از انرژی جنبشی هستند که باعث سخت شدن جسم در نتیجه عدم جاری شدن آن می‌گردند. جامدات شکل و حجم معینی دارند. در جامدات فاصله مولکولها مانند فاصله آنها در مایع است. جامدات نمی‌توانند مانند وضعیتی که حالات مایع و گاز دارند، آزادانه به اطراف حرکت کنند. بلکه ، در جامد ، مولکولها در مکانهای خاصی قرار می‌گیرند و فقط می‌توانند در اطراف این مکانها حرکت نوسانی رفت و برگشتی بسیار کوچک انجام دهند.
این حرکت نوسانی ، بخصوص در جامدات بلورین ، کاربردهای صنعتی و علمی زیادی را برای این دسته از مواد به دنبال دارد.

مایع

در حالت مایع ، مولکولها بهم نزدیک‌تر بوده، بطوریکه نیروهای مابینشان قویتر از انرژی جنبشی آنان می‌باشد. از طرف دیگر ، نیروها آنقدر قوی نیستند که قادر به ممانعت از حرکت مولکولها گردند. از این روست که جریان مایع از ظرفی به ظرف دیگر شدنی است، اما نسبت سرعت جاری شدن آب در مقایسه با مایعات دیگر از قبیل روغنها و گلسیرین بسیار متفاوت است که این تفاوت در سرعت جاری شدن ، میزان مقاومت یک مایع در مقابل جاری شدن ،یعنی ویسکوزیته آن خوانده می شود که خود تابعی از شکل ، اندازه مولکولی ، درجه حرارت و فشار می‌باشد. بنابراین مایعات حجم معین و شکل نامعینی دارند.

فاصله مولکولها در مایعات در مقایسه با گازها بسیار کم است. در مایعات ، مولکولها به اطراف خود حرکت می‌کنند و به سهولت روی هم می‌لغزند و راحت جریان (شارش) پیدا می‌کنند. مواد مایع با قابلیت شکل پذیری و جریان یافتن در شبکه‌های ریز ، کاربردهای زیادی در صنعت پیدا کرده‌اند.

گاز

حالت فیزیکی مواد در شرایط فشار و درجه حرارت طبیعی ، بستگی به اندازه مولکولی و نیروهای فی‌مابین آن دارد. اگر مقدار کمی از یک گاز ، در یک تانک نسبتا بزرگی قرار گیرد، مولکولهای آن با سرعت در سرتاسر تانک پخش می‌شوند. پخش سریع مولکولهای گاز دلالت بر آن می‌کند که نیروهای موجود فی‌مابین مولکولها ، بمراتب ضعیفتر از انرژی جنبشی آن است و از آنجایی که ممکن است مقدار کمی از یک گاز در سرتاسر تانک یافت شود، نشان دهنده آن است که مولکولهای گاز باید نسبتا از هم فاصله گرفته باشند. بنابراین گازها شکل و حجمشان بستگی به ظرفی دارد که در آن جای دارند.
در حالت گازی ، مولکولها آزادانه به اطراف حرکت کرده و با یکدیگر و نیز با دیواره ظرف برخورد می‌کنند. فاصله مولکولها در حالت گازی در حدود چند ده برابر فاصله آنها در حالت مایع و جامد است. اگر در یک ظرف نوشابه پلاستیکی را بسته و آنرا متراکم کنید و سپس آنرا با آب پر کرده و دوباره سعی کنید که آنرا متراکم کنید، در حالت اول بعلت فاصله زیاد بین مولکولی در گاز ، متراکم کردن سنگین‌تر و سخت‌تر صورت می‌گیرد، در صورتی که در حالت دوم چنین نیست.

پلاسما

پلاسما حالت چهارمی از ماده است که دانش امروزی نتوانسته آنها را جزو سه حالت دیگر پندارد و مجبور شده آنرا حالت مستقلی به حساب آورد. این ماده با ماهیت محیط یونیزه ، ترکیبی از یونهای مثبت و الکترون با غلظت معین می‌باشد که مقدار الکترونها و یونهای مثبت در یک محیط پلاسما تقریبا برابر است و حالت پلاسمای مواد ، تقریبا حالت شبه خنثایی دارد. پدیده‌های طبیعی زیادی از جمله آتش ، خورشید ، ستارگان و غیره در رده حالت پلاسمایی ماده قرار می‌گیرند.
پلاسما شبیه به گاز است، ولی مرکب از ذرات باردار متحرکی به نام یون است. یونها بشدت تحت تاثیر نیروهای الکتریکی و مغناطیسی قرار می‌گیرند. مواد طبیعی در حالت پلاسما عبارتند از انواع شعله ، بخش خارجی جو زمین ، اتمسفر ستارگان ، بسیاری از مواد موجود در فضای سحابی و بخشی از دم ستاره دنباله‌دار و شفقهای قطبی شمالی. نمایش خیره کننده از حالت پلاسمایی ماده است که در میدان مغناطیسی جریان می‌یابد

بد نیست بدانید که دانش امروزی حالات دیگری از جمله برهمکنش ضعیف و قوی هسته‌ای را نیز در دسته‌بندیها بعنوان حالات پنجم و ششم ماده بحساب می‌آورد که از این حالات در توجیه خواص نکلئونهای هسته ، نیروهای هسته‌ای ، واکنش های هسته‌ای و در کل ((فیزیک ذرات بنیادی استفاده می‌شود.

چگال بوز-اینشتین

حالت پنجم با نام ماده چگال بوز-اینشتین (Booze-Einstein condensate) که در سال ۱۹۹۵ کشف شد، در اثر سرد شدن ذراتی به نام بوزون‌ها (Bosons) تا دماهایی بسیار پایین پدید می‌آید. بوزون‌های سرد در هم فرومی‌روند و ابر ذره‌ای که رفتاری بیشتر شبیه یک موج دارد تا ذره‌های معمولی ، شکل می‌گیرد. ماده چگال بوز-اینشتین شکننده‌ است و سرعت عبور نور در آن بسیار کم است.

چگال فرمیونی

حالت تازه هم ماده چگال فرمیونی (Fermionic condensate) است. "دبورا جین" (Deborah Jin) از دانشگاه کلورادو که گروهش در اواخر پاییز ۱۳۸۲ ، موفق به کشف این شکل تازه ماده شده‌ است، می‌گوید: "وقتی با شکل جدیدی از ماده روبرو می‌شوید، باید زمانی را صرف شناخت ویژگیهایش کنید. آنها این ماده تازه را با سرد کردن ابری از پانصدهزار اتم پتاسیم با جرم اتمی 40 تا دمایی کمتر از یک میلیونیم درجه بالاتر از صفر مطلق پدیدآوردند. این اتمها در چنین دمایی بدون گرانروی جریان می‌یابند و این ، نشانه ظهور ماده‌ای جدید بود. در دماهای پایین‌تر چه اتفاقی میافتد؟ هنوز نمیدانیم."

ماده چگال فرمیونی بسیار شبیه ماده چگال بوز-اینشتین (BEC) است. ذرات بنیادی و اتمها در طبیعت می‌توانند به شکل بوزون یا فرمیون باشند. یکی از تفاوتهای اساسی میان آنها حالتهای کوانتومی مجاز برای ذرات است. تعداد زیادی بوزون می‌توانند در یک حالت کوانتومی باشند ، مثلا انرژی ، اسپین و ... آنها یکی باشد ، اما مطابق اصل طرد پائولی ، دو فرمیون نمی‌توانند همزمان حالتهای کوانتومی یکسان داشته باشند

برای همین ، مثلا در آرایش اتمی ، الکترونها که فرمیون هستند، نمی‌توانند همگی در یک تراز انرژی قرار گیرند.در هر اوربیتال تنها دو الکترون که اسپین‌های متفاوت داشته باشند، جا می‌گیرد و الکترونهای بعدی باید به اوربیتال دیگری با انرژی بالاتر بروند. بنابراین اگر فرمیونها را سرد کنیم و انرژی آنها را بگیریم ، ابتدا پایین‌ترین تراز انرژی پر می‌شود ، اما ذره بعدی باید به ترازی با انرژی بالاتر برود.

وجود ماده چگال فرمیونی همانند ماده چگال یوز- اینشتین سالها قبل پیش‌بینی شده و خواص آن محاسبه شده بود ، اما رسیدن به دمای نزدیک به صفر مطلق که برای تشکیل این شکل ماده لازم است تاکنون ممکن نشده بود. هر دو از فرورفتن اتمها در دماهایی بسیار پایین ساخته می‌شوند. اتمهای BEC بوزون ‌هستند و اتمهای ماده چگال فرمیونی ، فرمیون.